KNOWLEDGE · X선·CT 영상
엑스레이 필름 한 장을 3D CT에 어떻게 맞출 수 있을까?
엑스레이 필름 한 장은 CT가 찍는 그림자의 한 방향이다. 그래서 CT 볼륨에서 같은 그림자를 계산해 필름과 가장 닮는 자세를 찾으면 맞출 수 있고, 그 계산식이 점 광원에서 퍼지는 콘빔 모델이다.
01 한 방향
필름 한 장은 CT의 한 방향이다
엑스레이 필름도 CT와 같은 방식으로 찍힌다. 점 광원에서 퍼진 엑스레이가 시료를 지나 평평한 검출기에 닿고, 픽셀 하나는 광선이 지나온 길 위의 감쇠를 더한 값이다. CT는 시료를 돌려 가며 이런 그림자를 수백 방향에서 찍고, 필름은 그중 한 방향만 찍는다.
출처: C-arm 기하를 핀홀 카메라에서 온 3×4 투영행렬로 쓴다 (Preuhs 외 2018 §2.1). 치과 CBCT는 10~40초에 수백 장을 찍고 (Pauwels 외 2015), 공개된 SkyScan 1272 로그의 회전 간격은 0.4°다.
02 그림자
그림자는 합이라서 한 장으론 깊이를 모른다
픽셀 값은 광선이 지나온 칸들의 진한 정도를 더한 값이다. 세 칸을 지날 때 (1, 2, 3)이든 (3, 2, 1)이든 (2, 2, 2)든 합은 6이라서 그림자는 똑같다. 한 방향으로는 합만 알 수 있고 어느 칸이 짙은지는 모른다. 여러 방향이 필요한 까닭이다.
출처: NIST는 좁은 단색 빔이 균일한 층을 지날 때의 지수 감쇠식을 준다. 이것을 광선을 따라 이어 쓰면 I/I₀ = exp(−∫μ dl)이고, 로그를 취하면 합이 된다(이어 쓰는 단계는 유도다). 칸 값은 설명을 위해 정한 숫자다.
03 얻는 방식
CT와 X선은 어떻게 얻을까
둘은 같은 원리로 얻어서 맞출 수 있고, 얻는 방식이 달라서 맞출 필요가 생긴다.
| 항목 | CT (마이크로 CT) | X선 (필름 한 장) |
|---|---|---|
| 원리 | 점 광원 → 시료 → 평판 검출기. 픽셀 = 광선 위 감쇠의 합 | 같다 |
| 방향 수 | 수백 | 하나 |
| 한 장의 뜻 | 재료. 모아서 풀어야 결과가 된다 | 그 한 장이 곧 결과 |
| 결과 | 3D 볼륨 (복셀마다 감쇠계수) | 2D 그림. 앞뒤가 겹친다 |
| 깊이 | 있다 (재구성) | 없다 (합) |
| 기하 | 스캐너가 알고 로그에 남긴다 | 촬영마다 다르거나 기록이 없을 수 있다 가설 |
| 밝기 | 한 스캔 안에서 일정하고, 값은 회색값이다 | 장치와 조건마다 달라 CT와 바로 대응하지 않을 수 있다 가설 |
| 횟수 | 보통 한 번 찍는다 | 여러 번 찍을 수 있다 일반적 경향 |
| 정합에서 | 3D 좌표계, 곧 지도 | 한 시점, 한 자세에서 본 2D 관측 |
그래서 정합은 3D 지도(CT)에 2D 관측(필름)을 올려 놓는 일이다. 관측이 어느 자세에서 나왔는지 모르니, 지도에서 같은 관측을 계산해 보고 가장 닮은 자세를 고른다.
출처: 검출기 보정과 기하는 Pauwels 외 2015 (치과 CBCT 개관), 정합 방법의 개관은 Markelj 외 2012 (초록). 마이크로 CT 열은 공개된 SkyScan 1272 로그를 읽은 것이다.
직접 해보기
CT를 돌려 필름에 맞추기
CT로 가상 필름을 만들어, 파란 곡선(진짜 필름)과 겹치도록 CT를 돌리고 옮겨 보자. 앞뒤로 움직이면 광원에 가까워져 그림자가 커진다.
진짜 필름CT로 만든 가상 필름
투영 모델
광원 거리 (시료 반지름의 몇 배)
두 곡선이 겹치도록 CT를 돌리고 옮겨 보자. 앞뒤로 움직이면 크기가 변한다.
설명용 장난감이다. 2D 단면을 한 줄 그림자로 찍고, 자세는 셋(돌리기, 옆, 앞뒤)뿐이다. 실제 3D 정합은 자세가 여섯이고, 광원 거리를 모를 수도 있다. 그림은 개념도라서 광원 거리를 바꿔도 같게 그렸다. 데모의 숫자는 필름 하나의 결과라서 본문의 시드 3개 평균과 다를 수 있다.
04 원뿔 모델
왜 점 광원의 원뿔 모델일까
- 점 광원에서는 광원에 가까울수록 크게 찍혀서 그림자 크기가 앞뒤 위치를 알려 준다. 평행 광선으로 단순화하면 앞뒤로 움직여도 그림자가 변하지 않는다.
- 광원과 필름 사이의 거리, 화소 크기를 알아야 CT의 mm가 필름의 화소로 바뀐다.
- 자세 여섯(회전 셋, 이동 셋)과 이 기하가 투영행렬 하나에 들어 있다. 정합은 가상 필름이 진짜 필름과 가장 닮도록 그 값을 찾는 일이다.
거리광원이 멀어지면 두 모델의 차이는 줄어든다. 이 장난감에서는 광원이 시료 반지름의 6배만 되어도 평행 모델의 회전 오차가 2° 안쪽이었고, 원뿔 모델이 앞뒤 위치를 찾는 오차는 광원이 멀수록 커졌다(6배 0.005, 10배 0.05, 20배 0.20, 50배 0.75). 거리가 멀수록 원뿔 모델의 몫은 약해진 깊이 신호를 쓰는 것으로 줄어든다. 확인됨 장난감 안에서
출처: 이 페이지의 2D 장난감을 독립 구현으로 다시 계산해 테스트했다 (해석 가상 필름과 수치 적분의 차이 2.5×10⁻⁴ 안쪽, 광원 거리마다 시드 3개). 실제 장치에서 이 거리 비율이 얼마인지는 모른다.
05 어려운 이유
그래도 맞추기는 어렵다
- 필름 한 장은 앞뒤 방향을 약하게 알려 준다. 비슷하게 보이는 자세가 많다. 가설 이 장난감에서는 지지됐다.
- 필름 쪽 기하(광원–필름 거리 등)를 모르면 배율이 어긋난다. 가설
- CT와 필름은 엑스레이 에너지가 달라서 밝기가 서로 대응하지 않을 수 있다. 가설
맞춘 오차가 구조물의 크기보다 크면, 그 구조물의 경계는 필름으로 그을 수 없다.
흔한 오해
오해CT와 엑스레이 사진은 다른 종류의 사진이라 서로 비교할 수 없다.
실제로는둘 다 점 광원의 그림자이고 픽셀은 광선 위 감쇠의 합이다. 다른 것은 방향의 수뿐이라서, CT에서 같은 그림자를 계산해 비교할 수 있다.
오해필름을 CT에 맞추면 구조물의 경계도 정확히 그을 수 있다.
실제로는맞춘 오차가 구조물의 크기보다 크면 경계를 그을 수 없다. 필름 한 장은 앞뒤 방향을 약하게 정하기 때문이다.
더 알아보기
CT는 어떻게 3D로 풀어서 만들까
방향마다 그림자를 광선이 왔던 길로 도로 칠해 더하면(되번지기) 모양이 떠오르지만, 그냥 더하면 흐릿하게 번진다. 그래서 되번지기 전에 그림자에 가장자리를 강조하는 필터(ramp 필터)를 건다. 둘을 합친 것이 filtered backprojection이고, 콘빔의 표준 방법인 FDK는 이것을 3D로 옮긴 것이다. 확인됨 FDK가 코사인 가중과 ramp 필터를 거친 뒤 되번지기를 하는 방법이라는 설명은 iFDK 논문(Chen 외 2019)에서, 대부분의 CBCT 기기가 FDK를 쓴다는 것은 Pauwels 외 2015에서 확인했고, 1984년 원 논문은 읽지 못했다.
FDK는 검출기 행마다 부채꼴 문제처럼 풀고 되번지기만 3D로 한다. 그래서 원형 궤도 한 바퀴에서는 중앙 층에서만 정확하고 그 밖은 근사이며, 원뿔이 넓을수록 오차가 커진다. 가설 데이터 충분성 조건(Tuy–Smith)은 2차 서술로만 확인했다.
2D 장난감(평행 광선, 96×96 단면)에서 정답과의 상관계수는 필터 없이는 방향을 늘려도 0.64에서 멈추고, 필터가 있으면 18방향에서 0.94, 60방향에서 0.98이었다. 확인됨 장난감 안에서
출처: Feldkamp, Davis, Kress 1984 (J. Opt. Soc. Am. A 1:612), Chen 외 2019 (iFDK, arXiv 1909.02724), Pauwels 외 2015.
복셀 한 칸의 크기는 어디서 나올까
시료 위에서 검출기 화소 하나가 덮는 크기는 화소 크기 ÷ 배율이고, 배율은 광원–검출기 거리 ÷ 광원–시료 거리다. binning을 하면 그 배수만큼 커진다. 공개된 SkyScan 1272 로그에서는 카메라 화소 9.0 µm에 3×3 binning이면 27 µm, 배율 270.988 ÷ 200.709 = 1.35이므로 약 20.0 µm가 기대값이고, 로그의 Image Pixel Size는 19.80 µm다. 0.99배 작은 이유는 모른다. 확인됨 로그 값과 산술
복셀이 작아도 해상도가 그만큼 좋은 것은 아니다. 확인됨 한 마이크로 CT 시스템(검출기 화소 127 µm, 배율 5.10)에서 10% MTF 차단 주파수는 12.56 lp/mm였고, 저자들은 유한한 초점 크기, 검출기 번짐, 재구성 커널 때문에 나이키스트 한계에 못 미친다고 썼다(Ghani 외 2016, 초록). 이 배율에서 물체 위 화소는 약 25 µm이고 나이키스트 한계는 약 20 lp/mm다(산술).
재서 나온 부피를 얼마나 믿을까
광물화 조직 연구에서 다루는 크기의 시료에서 beam hardening artifact가 최대 32.6%에 이를 수 있고 광물 밀도 측정에 영향을 준다 (Meganck 외 2009, 초록). 치과 CBCT 13대를 비교한 연구에서는 재교정한 뒤에도 중간 밀도 구간에서 CBCT 복셀 값의 평균 오차가 35~1562였다 (Pauwels 외 2013, 초록). 확인됨
그래서 부피는 장치, 엑스레이 에너지, 필터, 복셀, 재구성, 문턱값이 정하는 추정값이다. 설정을 고정하고, 문턱값을 훑어 민감도를 보고, 정합한 스캔 쌍의 상대 변화를 보는 것이 안전하다. 가설
확인됨 · 가설 · 모름
확인됨CT와 필름은 같은 원리다 (Preuhs 외 2018, NIST 감쇠식). 이 장난감 안에서 가상 필름의 해석값은 수치 적분과 맞고, 평행 모델은 앞뒤 이동을 못 보며, 광원이 멀수록 두 모델이 비슷해지고 원뿔 모델의 깊이 신호는 약해졌다.
가설필름 쪽 기하와 밝기를 모를 수 있다는 것. 장난감의 광원 거리 비율이 실제 장치에 대응하는지. 광원이 아주 멀 때 보인 180° 뒤집힌 해가 단면의 좌우 대칭 때문이라는 것.
모름필름의 밝기와 CT 값이 어떻게 대응하는지. 실제 필름 장치의 촬영 기하. FDK 원 논문의 식과 정리.
자주 묻는 질문
엑스레이 필름을 CT에 맞춘다는 것은 무슨 뜻인가?
CT의 자세(회전 셋과 이동 셋)를 바꿔 가며 CT 볼륨에서 가상 엑스레이 사진을 만들고, 진짜 필름과 가장 닮는 자세를 찾는 일이다. 가상 엑스레이 사진(DRR)으로 slice-to-volume 정합 같은 역문제를 푸는 일은 잘 연구되어 있고(Gopalakrishnan, Golland 2022, 초록), 3D CT를 2D 엑스레이 투영에 맞추는 방법은 3D/2D 정합이라는 이름으로 정리되어 있다(Markelj 외 2012, 초록).
DRR(가상 엑스레이 사진)은 무엇인가?
DRR(digitally reconstructed radiograph)은 CT 볼륨의 값을 점 광원에서 검출기 픽셀로 가는 광선을 따라 더해 계산한 사진이다. 진짜 엑스레이 사진의 픽셀도 광선 위 감쇠계수의 합이어서(NIST 감쇠식), 같은 식으로 CT에서 같은 종류의 사진을 만들 수 있다.
왜 평행 광선이 아니라 점 광원의 콘빔 모델이 필요한가?
점 광원에서는 광원에 가까울수록 크게 찍혀서 그림자 크기가 앞뒤 위치를 알려 준다. 평행 모델에서는 앞뒤로 움직여도 그림자가 변하지 않는다. 다만 이 페이지의 2D 장난감에서는 광원이 시료 반지름의 6배 이상 멀면 평행 모델의 회전 오차가 2° 안쪽이었고, 그때 원뿔 모델이 앞뒤 위치를 찾는 힘도 약해졌다.
CT와 엑스레이 사진은 어떻게 다르게 얻어지나?
둘 다 점 광원, 시료, 평판 검출기로 얻고 픽셀은 광선 위 감쇠의 합이다. CT는 시료나 광원이 돌며 수백 방향의 사진을 모아 컴퓨터가 3D 볼륨으로 푼다. 엑스레이 필름은 한 방향의 사진 한 장이 곧 결과여서 앞뒤가 겹치고 깊이가 없다(Pauwels 외 2015).
마이크로 CT의 복셀 크기는 어떻게 정해지나?
검출기 화소 크기를 배율(광원–검출기 거리 ÷ 광원–시료 거리)로 나눈 값이 기본이고, binning을 하면 그 배수만큼 커진다. 공개된 SkyScan 1272 로그에서 화소 27 µm(9 µm, 3×3 binning), 배율 1.35이면 약 20 µm가 기대값이었다. 복셀이 작다고 해상도가 그만큼 좋은 것은 아니다.
필름과 CT를 맞추면 얼마나 정확한가?
장치와 방법마다 달라서 이 페이지는 하나의 수치를 말하지 않는다. 맞춘 오차가 구조물의 크기보다 크면 그 구조물의 경계는 필름으로 그을 수 없다. 이 페이지의 2D 장난감에서는 원뿔 모델이 앞뒤 위치를 찾는 오차가 광원이 멀수록 커졌다(6배 0.005, 20배 0.20).
더 보기
- Markelj 외 2012, 영상 유도 시술을 위한 3D/2D 정합 방법 리뷰 (Medical Image Analysis)
- Preuhs 외 2018, 정량적 관상동맥 조영을 위한 시점 계획 (§2.1에 C-arm 기하와 투영행렬)
- Pauwels 외 2015, 치과 콘빔 CT의 기술
- Feldkamp, Davis, Kress 1984, 콘빔 재구성 (FDK)
- NIST, 엑스레이 감쇠계수
- Gopalakrishnan, Golland 2022, 미분 가능한 DRR 생성기 (DiffDRR)
- Chen 외 2019, iFDK, 고해상도 영상 재구성을 위한 확장 가능한 프레임워크